Оплаченная реклама

luni, 25 februarie 2013

RELAŢII ÎNTRE CUANTORI

RELAŢII ÎNTRE CUANTORI Cuantorul universal este strâns legat cu conjuncţia, iar cel existenţial cu disjucţia, Raţiunea acestor legături este următoarea: când spunem „toţi x”, sau „oricare ar fi x”, înseamnă fiecare x în parte „şi x1 şi x2…şi xn”; o conjuncţie infinită nu poate fi scrisă, ci doar sugerată. În acest fel, o formulă  "x Ox  poate fi redusă la conjuncţia [Ox 1 · Ox2· Ox3 ·…].
Expresiile existenţiale $y My spun că „există cel puţin un y astfel încât y este M”, cu alte cuvinte, dintre toţi y, există cel puţin unul, adică sau y1 sau y2sau…yn, care să fie M, formula $y My putând fi redată prin schema [My1 v My2v My3v…].
Cuantorii pot fi corelaţi şi altfel cu disjuncţia şi conjuncţia. Astfel:
Cuantorul universal este distribuit în raport cu conjuncţia:
(1)   "x (Ox  · Mx) º ("x Ox  · "x Mx)
în raport cu disjuncţia se  comportă astfel (implicaţie inversă):
(2)   ("x Ox  v "x Mx) ® "x (Ox  v Mx)
Cuantorul existenţial este distribuit în raport cu disjuncţia:
(3)   $y (My  v Ny) º ($y My  v  $y Ny)
iar în raport cu conjuncţia se comportă astfel (implicaţie):
(4)   $y(My  · Ny) ® ($y My  ·  $y Ny)
            Cuantorul universal implică logic cuantorul existenţial:
(5) "xOx ® $xOx
Cuantorii pot fi definiţi unul prin celălalt cu ajutorul negaţiei (dualitatea cuantorilor), analog legilor lui De Morgan de la propoziţiile compuse:
(6) "x Ax  º ~$x ~Ax
(7) $x Ax  º ~"x ~Ax
(8) ~"x Ax  º $x ~Ax
(9) ~$x Ax  º "x ~Ax
Un singur exemplu pentru cazul (6): A spune „Toţi corbii sunt negri” este acelaşi lucru cu a spune „Nu există corb care să nu fie negru”.
Având în vedere aceste relaţii, rezultă că pătratul logic al opoziţiei poate fi extins şi în cazul predicatelor:

   "x Ax                                                  "x ~Ax    








    
   $xAx  $x ~Ax                                             

Alături de relaţiile de la (6) la (9), din pătrat decurg şi următoarele relaţii:
  (10)  "x Ox ® $x Ox
            (11)  "x ~Ax ® $x ~Ax 
            (12) ~$y ~Ay  ® "x Ax 
            (13) ~"x ~Ax ® $x Ax 

Ordinea cuantorilor în formule. Cînd toţi cuantorii unei formule se află în faţa acesteia, astfel încât tot restul formulei să intre sub domeniu de acţiune al acestora, aceşti cuantori formează prefixul formulei.
Øîn cazul cuantorilor de acelaşi tip (prefix omogen), ordinea cuantorilor este indiferentă (prefixul omogen este comutativ):
(14) "x "y Gxy º"y "x Gxy
(15) $x $y Gxy º$y $x Gxy
Øîn cazul în care cuantorii nu sunt de acelaşi tip (prefix eterogen), ordinea lor nu este indiferentă.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Arhiva